Selesaikan {l}{2x-3y=-6}{-5x+2y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 6 } \\ { - 5 x + 2 y = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=-6$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y-3$$

Gantikan \frac{3y}{2}-3 dengan x dalam persamaan lain, -5x+2y=15.

$$-5\left(\frac{3}{2}y-3\right)+2y=15$$

Darabkan -5 kali \frac{3y}{2}-3.

$$-\frac{15}{2}y+15+2y=15$$

Tambahkan -\frac{15y}{2} pada 2y.

$$-\frac{11}{2}y+15=15$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{2}y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-6\right)-\frac{3}{11}\times 15\\-\frac{5}{11}\left(-6\right)-\frac{2}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

Untuk menjadikan 2x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-5\times 2x-5\left(-3\right)y=-5\left(-6\right),2\left(-5\right)x+2\times 2y=2\times 15$$

Permudahkan.

$$-10x+15y=30,-10x+4y=30$$

Tolak -10x+4y=30 daripada -10x+15y=30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-10x+10x+15y-4y=30-30$$

Tambahkan -10x pada 10x. Seubtan -10x dan 10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y-4y=30-30$$

Tambahkan 15y pada -4y.

$$11y=30-30$$

Tambahkan 30 pada -30.

$$11y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam -5x+2y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=0$$