Selesaikan {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$2x-15-3y=6$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah.

$$2x-3y=6+15$$

Tambahkan 6 dan 15 untuk dapatkan 21.

$$2x-3y=21$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7 dengan x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah.

$$7x-28+5y=-1$$

Tambahkan 28 pada kedua-dua belah.

$$7x+5y=-1+28$$

Tambahkan -1 dan 28 untuk dapatkan 27.

$$7x+5y=27$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=21$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 21+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

Gantikan \frac{21+3y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

Darabkan 7 kali \frac{21+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

Tambahkan \frac{21y}{2} pada 5y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

Tolak \frac{147}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{31}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

Darabkan \frac{3}{2} kali -3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Tambahkan \frac{21}{2} pada -\frac{9}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$2x-15-3y=6$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah.

$$2x-3y=6+15$$

Tambahkan 6 dan 15 untuk dapatkan 21.

$$2x-3y=21$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7 dengan x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah.

$$7x-28+5y=-1$$

Tambahkan 28 pada kedua-dua belah.

$$7x+5y=-1+28$$

Tambahkan -1 dan 28 untuk dapatkan 27.

$$7x+5y=27$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$2x-15-3y=6$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah.

$$2x-3y=6+15$$

Tambahkan 6 dan 15 untuk dapatkan 21.

$$2x-3y=21$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7 dengan x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah.

$$7x-28+5y=-1$$

Tambahkan 28 pada kedua-dua belah.

$$7x+5y=-1+28$$

Tambahkan -1 dan 28 untuk dapatkan 27.

$$7x+5y=27$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Untuk menjadikan 2x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

Permudahkan.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

Tolak 14x+10y=54 daripada 14x-21y=147 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

Tambahkan 14x pada -14x. Seubtan 14x dan -14x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-21y-10y=147-54$$

Tambahkan -21y pada -10y.

$$-31y=147-54$$

Tambahkan 147 pada -54.

$$-31y=93$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -31.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 7x+5y=27. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

Darabkan 5 kali -3.

$$7x-15=27$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-3$$