Selesaikan {l}{2x+y-6=0}{2x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y - 6 = 0 } \\ { 2 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=-6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x+y=6$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Gantikan -\frac{y}{2}+3 dengan x dalam persamaan lain, 2x+2y=0.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+2y=0$$

Darabkan 2 kali -\frac{y}{2}+3.

$$-y+6+2y=0$$

Tambahkan -y pada 2y.

$$y+6=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)+3$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -6.

$$x=3+3$$

Tambahkan 3 pada 3.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-2}&-\frac{1}{2\times 2-2}\\-\frac{2}{2\times 2-2}&\frac{2}{2\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=-6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

Tolak 2x+2y=0 daripada 2x+y-6=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+y-2y-6=0$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-2y-6=0$$

Tambahkan y pada -2y.

$$-y-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam 2x+2y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+2\left(-6\right)=0$$

Darabkan 2 kali -6.

$$2x-12=0$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-6$$