Selesaikan {l}{2x+y=60}{x=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 60 } \\ { x = y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=20$$

$$y=20$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=60,x-y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=60$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+60\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+60.

$$x=-\frac{1}{2}y+30$$

Gantikan -\frac{y}{2}+30 dengan x dalam persamaan lain, x-y=0.

$$-\frac{1}{2}y+30-y=0$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada -y.

$$-\frac{3}{2}y+30=0$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{2}y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=20$$

Gantikan 20 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+30. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 20+30$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 20.

$$x=-10+30$$

Tambahkan 30 pada -10.

$$x=20$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=20,y=20$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=60,x-y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60\\\frac{1}{3}\times 60\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=20,y=20$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$x-y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=60,x-y=0$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+y=60,2x+2\left(-1\right)y=0$$

Permudahkan.

$$2x+y=60,2x-2y=0$$

Tolak 2x-2y=0 daripada 2x+y=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+y+2y=60$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+2y=60$$

Tambahkan y pada 2y.

$$3y=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=20$$

Gantikan 20 dengan y dalam x-y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-20=0$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=20$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=20,y=20$$