Selesaikan {l}{2x+y=4}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=4$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Gantikan -\frac{y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=4.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+2\right)+2y=4$$

Darabkan 3 kali -\frac{y}{2}+2.

$$-\frac{3}{2}y+6+2y=4$$

Tambahkan -\frac{3y}{2} pada 2y.

$$\frac{1}{2}y+6=4$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}y=-2$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)+2$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -4.

$$x=2+2$$

Tambahkan 2 pada 2.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4-4\\-3\times 4+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 4$$

Permudahkan.

$$6x+3y=12,6x+4y=8$$

Tolak 6x+4y=8 daripada 6x+3y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+3y-4y=12-8$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-4y=12-8$$

Tambahkan 3y pada -4y.

$$-y=12-8$$

Tambahkan 12 pada -8.

$$-y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam 3x+2y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\left(-4\right)=4$$

Darabkan 2 kali -4.

$$3x-8=4$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-4$$