Selesaikan {l}{2x+y=11}{5x+3y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=11$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+11.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Gantikan \frac{-y+11}{2} dengan x dalam persamaan lain, 5x+3y=30.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+3y=30$$

Darabkan 5 kali \frac{-y+11}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{55}{2}+3y=30$$

Tambahkan -\frac{5y}{2} pada 3y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=30$$

Tolak \frac{55}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{11}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 5.

$$x=\frac{-5+11}{2}$$

Tambahkan \frac{11}{2} pada -\frac{5}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{1}{2\times 3-5}\\-\frac{5}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 11-30\\-5\times 11+2\times 30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5y=5\times 11,2\times 5x+2\times 3y=2\times 30$$

Permudahkan.

$$10x+5y=55,10x+6y=60$$

Tolak 10x+6y=60 daripada 10x+5y=55 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+5y-6y=55-60$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5y-6y=55-60$$

Tambahkan 5y pada -6y.

$$-y=55-60$$

Tambahkan 55 pada -60.

$$-y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam 5x+3y=30. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+3\times 5=30$$

Darabkan 3 kali 5.

$$5x+15=30$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=5$$