Selesaikan {l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{4}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=-6$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Gantikan -\frac{y}{2}-3 dengan x dalam persamaan lain, -\frac{1}{4}x+y=3.

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

Tambahkan \frac{y}{8} pada y.

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

Tolak \frac{3}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 2.

$$x=-1-3$$

Tambahkan -3 pada -1.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{4}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{4}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Tolak -\frac{1}{4}x+y=3 daripada 2x+y=-6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

Tambahkan 2x pada \frac{x}{4}.

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

Tambahkan -6 pada -3.

$$\frac{9}{4}x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-4$$

Gantikan -4 dengan x dalam -\frac{1}{4}x+y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali -4.

$$1+y=3$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=2$$