Selesaikan {l}{2x+y=-2}{4x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 2 } \\ { 4 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=-2$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y-2.

$$x=-\frac{1}{2}y-1$$

Gantikan -\frac{y}{2}-1 dengan x dalam persamaan lain, 4x+5y=8.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-1\right)+5y=8$$

Darabkan 4 kali -\frac{y}{2}-1.

$$-2y-4+5y=8$$

Tambahkan -2y pada 5y.

$$3y-4=8$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4-1$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 4.

$$x=-2-1$$

Tambahkan -1 pada -2.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4}&-\frac{1}{2\times 5-4}\\-\frac{4}{2\times 5-4}&\frac{2}{2\times 5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-2\right)-\frac{1}{6}\times 8\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4y=4\left(-2\right),2\times 4x+2\times 5y=2\times 8$$

Permudahkan.

$$8x+4y=-8,8x+10y=16$$

Tolak 8x+10y=16 daripada 8x+4y=-8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+4y-10y=-8-16$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-10y=-8-16$$

Tambahkan 4y pada -10y.

$$-6y=-8-16$$

Tambahkan -8 pada -16.

$$-6y=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 4x+5y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+5\times 4=8$$

Darabkan 5 kali 4.

$$4x+20=8$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=4$$