Selesaikan {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+8y=16$$

Tolak 8y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-8y+16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -8y+16.

$$x=-4y+8$$

Gantikan -4y+8 dengan x dalam persamaan lain, -x+2y+11=0.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

Darabkan -1 kali -4y+8.

$$4y-8+2y+11=0$$

Tambahkan 4y pada 2y.

$$6y-8+11=0$$

Tambahkan -8 pada 11.

$$6y+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan y dalam x=-4y+8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

Darabkan -4 kali -\frac{1}{2}.

$$x=2+8$$

Tambahkan 8 pada 2.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Untuk menjadikan 2x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

Permudahkan.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

Tolak -2x+4y+22=0 daripada -2x-8y=-16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-4y-22=-16$$

Tambahkan -8y pada -4y.

$$-12y-22=-16$$

Tambahkan 22 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-12y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{1}{2} dengan y dalam -x+2y+11=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

Darabkan 2 kali -\frac{1}{2}.

$$-x-1+11=0$$

Tambahkan -1 pada 11.

$$-x+10=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$