Selesaikan {l}{2x+7y=15}{3x-5y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+7y=15$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-7y+15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -7y+15.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

Gantikan \frac{-7y+15}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x-5y=23.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

Darabkan 3 kali \frac{-7y+15}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

Tambahkan -\frac{21y}{2} pada -5y.

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

Tolak \frac{45}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{31}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{1}{31}$$

Gantikan -\frac{1}{31} dengan y dalam x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

Darabkan -\frac{7}{2} dengan -\frac{1}{31} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

Tambahkan \frac{15}{2} pada \frac{7}{62} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{236}{31}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

Permudahkan.

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

Tolak 6x-10y=46 daripada 6x+21y=45 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y+10y=45-46$$

Tambahkan 21y pada 10y.

$$31y=45-46$$

Tambahkan 45 pada -46.

$$31y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 31.

$$y=-\frac{1}{31}$$

Gantikan -\frac{1}{31} dengan y dalam 3x-5y=23. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

Darabkan -5 kali -\frac{1}{31}.

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

Tolak \frac{5}{31} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{708}{31}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{236}{31}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$