Selesaikan {l}{2x+5y=13}{x+7y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 13 } \\ { x + 7 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{176}{9} = 19\frac{5}{9} \approx 19.555555556$$

$$y = -\frac{47}{9} = -5\frac{2}{9} \approx -5.222222222$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+5y=13$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-5y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+13\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -5y+13.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}$$

Gantikan \frac{-5y+13}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+7y=-17.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}+7y=-17$$

Tambahkan -\frac{5y}{2} pada 7y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{13}{2}=-17$$

Tolak \frac{13}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{47}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{47}{9}$$

Gantikan -\frac{47}{9} dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{47}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Darabkan -\frac{5}{2} dengan -\frac{47}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{235}{18}+\frac{13}{2}$$

Tambahkan \frac{13}{2} pada \frac{235}{18} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{176}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-5}&-\frac{5}{2\times 7-5}\\-\frac{1}{2\times 7-5}&\frac{2}{2\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}&-\frac{5}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}\times 13-\frac{5}{9}\left(-17\right)\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{2}{9}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{176}{9}\\-\frac{47}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+5y=13,2x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Permudahkan.

$$2x+5y=13,2x+14y=-34$$

Tolak 2x+14y=-34 daripada 2x+5y=13 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+5y-14y=13+34$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5y-14y=13+34$$

Tambahkan 5y pada -14y.

$$-9y=13+34$$

Tambahkan 13 pada 34.

$$-9y=47$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=-\frac{47}{9}$$

Gantikan -\frac{47}{9} dengan y dalam x+7y=-17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+7\left(-\frac{47}{9}\right)=-17$$

Darabkan 7 kali -\frac{47}{9}.

$$x-\frac{329}{9}=-17$$

Tambahkan \frac{329}{9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{176}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$