Selesaikan {l}{2x+5y=1}{-2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+5y=1$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-5y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -5y+1.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{-5y+1}{2} dengan x dalam persamaan lain, -2x+y=5.

$$-2\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=5$$

Darabkan -2 kali \frac{-5y+1}{2}.

$$5y-1+y=5$$

Tambahkan 5y pada y.

$$6y-1=5$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada -\frac{5}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2-5\left(-2\right)}&\frac{2}{2-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&-\frac{5}{12}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}-\frac{5}{12}\times 5\\\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

Untuk menjadikan 2x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2\times 2x-2\times 5y=-2,2\left(-2\right)x+2y=2\times 5$$

Permudahkan.

$$-4x-10y=-2,-4x+2y=10$$

Tolak -4x+2y=10 daripada -4x-10y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x-10y-2y=-2-10$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y-2y=-2-10$$

Tambahkan -10y pada -2y.

$$-12y=-2-10$$

Tambahkan -2 pada -10.

$$-12y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -12.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam -2x+y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+1=5$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=1$$