Selesaikan {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=2060$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+2060$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Gantikan -2y+1030 dengan x dalam persamaan lain, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Darabkan 5 kali -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Tambahkan -10y pada 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Tolak 5150 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-3510$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=1170$$

Gantikan 1170 dengan y dalam x=-2y+1030. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Darabkan -2 kali 1170.

$$x=-2340+1030$$

Tambahkan 1030 pada -2340.

$$x=-1310$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1310,y=1170$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1310,y=1170$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Permudahkan.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Tolak 10x+14y=3280 daripada 10x+20y=10300 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y-14y=10300-3280$$

Tambahkan 20y pada -14y.

$$6y=10300-3280$$

Tambahkan 10300 pada -3280.

$$6y=7020$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=1170$$

Gantikan 1170 dengan y dalam 5x+7y=1640. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Darabkan 7 kali 1170.

$$5x+8190=1640$$

Tolak 8190 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-6550$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-1310$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1310,y=1170$$