Selesaikan {l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=12$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+12.

$$x=-2y+6$$

Gantikan -2y+6 dengan x dalam persamaan lain, 5x-8y=16.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

Darabkan 5 kali -2y+6.

$$-10y+30-8y=16$$

Tambahkan -10y pada -8y.

$$-18y+30=16$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-18y=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -18.

$$y=\frac{7}{9}$$

Gantikan \frac{7}{9} dengan y dalam x=-2y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

Darabkan -2 kali \frac{7}{9}.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

Tambahkan 6 pada -\frac{14}{9}.

$$x=\frac{40}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

Permudahkan.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

Tolak 10x-16y=32 daripada 10x+20y=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y+16y=60-32$$

Tambahkan 20y pada 16y.

$$36y=60-32$$

Tambahkan 60 pada -32.

$$36y=28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 36.

$$y=\frac{7}{9}$$

Gantikan \frac{7}{9} dengan y dalam 5x-8y=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

Darabkan -8 kali \frac{7}{9}.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

Tambahkan \frac{56}{9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{200}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{40}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$