Selesaikan {l}{2x+4y=1}{2x-6y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x - 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=1$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Gantikan -2y+\frac{1}{2} dengan x dalam persamaan lain, 2x-6y=-4.

$$2\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-6y=-4$$

Darabkan 2 kali -2y+\frac{1}{2}.

$$-4y+1-6y=-4$$

Tambahkan -4y pada -6y.

$$-10y+1=-4$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-10y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{1}{2} dengan y dalam x=-2y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$

Darabkan -2 kali \frac{1}{2}.

$$x=-1+\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada -1.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-4\times 2}&-\frac{4}{2\left(-6\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}&\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}-\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Tolak 2x-6y=-4 daripada 2x+4y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+4y+6y=1+4$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y+6y=1+4$$

Tambahkan 4y pada 6y.

$$10y=1+4$$

Tambahkan 1 pada 4.

$$10y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{1}{2} dengan y dalam 2x-6y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-6\times \frac{1}{2}=-4$$

Darabkan -6 kali \frac{1}{2}.

$$2x-3=-4$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$