Selesaikan {l}{2x+3y=13}{6x+y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=13$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+13}{2} dengan x dalam persamaan lain, 6x+y=11.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

Darabkan 6 kali \frac{-3y+13}{2}.

$$-9y+39+y=11$$

Tambahkan -9y pada y.

$$-8y+39=11$$

Tolak 39 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=\frac{7}{2}$$

Gantikan \frac{7}{2} dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{2}+\frac{13}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{7}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{21}{4}+\frac{13}{2}$$

Tambahkan \frac{13}{2} pada -\frac{21}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{5}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 6}&-\frac{3}{2-3\times 6}\\-\frac{6}{2-3\times 6}&\frac{2}{2-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 13+\frac{3}{16}\times 11\\\frac{3}{8}\times 13-\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=13,6x+y=11$$

Untuk menjadikan 2x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 13,2\times 6x+2y=2\times 11$$

Permudahkan.

$$12x+18y=78,12x+2y=22$$

Tolak 12x+2y=22 daripada 12x+18y=78 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+18y-2y=78-22$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$18y-2y=78-22$$

Tambahkan 18y pada -2y.

$$16y=78-22$$

Tambahkan 78 pada -22.

$$16y=56$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$y=\frac{7}{2}$$

Gantikan \frac{7}{2} dengan y dalam 6x+y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+\frac{7}{2}=11$$

Tolak \frac{7}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=\frac{15}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{5}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{7}{2}$$