Selesaikan {l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-65$$

$$y=70$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+2y=10$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-2y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -2y+10.

$$x=-y+5$$

Gantikan -y+5 dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20.

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada \frac{3y}{4}.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=70$$

Gantikan 70 dengan y dalam x=-y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-70+5$$

Tambahkan 5 pada -70.

$$x=-65$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-65,y=70$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-65,y=70$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Untuk menjadikan 2x dan \frac{x}{2} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{1}{2} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

Permudahkan.

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

Tolak x+\frac{3}{2}y=40 daripada x+y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

Tambahkan y pada -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

Tambahkan 5 pada -40.

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=70$$

Gantikan 70 dengan y dalam \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

Darabkan \frac{3}{4} kali 70.

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

Tolak \frac{105}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-65$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-65,y=70$$