Selesaikan {l}{2x+14y=-28}{-4x-14y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 14 y = - 28 } \\ { - 4 x - 14 y = 28 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+14y=-28$$

Tolak 14y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-14y-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-14y-28\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -14y-28.

$$x=-7y-14$$

Gantikan -7y-14 dengan x dalam persamaan lain, -4x-14y=28.

$$-4\left(-7y-14\right)-14y=28$$

Darabkan -4 kali -7y-14.

$$28y+56-14y=28$$

Tambahkan 28y pada -14y.

$$14y+56=28$$

Tolak 56 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$14y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-7y-14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-7\left(-2\right)-14$$

Darabkan -7 kali -2.

$$x=14-14$$

Tambahkan -14 pada 14.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-28\right)-\frac{1}{2}\times 28\\\frac{1}{7}\left(-28\right)+\frac{1}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Untuk menjadikan 2x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-4\times 2x-4\times 14y=-4\left(-28\right),2\left(-4\right)x+2\left(-14\right)y=2\times 28$$

Permudahkan.

$$-8x-56y=112,-8x-28y=56$$

Tolak -8x-28y=56 daripada -8x-56y=112 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-8x+8x-56y+28y=112-56$$

Tambahkan -8x pada 8x. Seubtan -8x dan 8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-56y+28y=112-56$$

Tambahkan -56y pada 28y.

$$-28y=112-56$$

Tambahkan 112 pada -56.

$$-28y=56$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -28.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -4x-14y=28. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x-14\left(-2\right)=28$$

Darabkan -14 kali -2.

$$-4x+28=28$$

Tolak 28 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-2$$