Selesaikan {l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$2x+10-4y=-16x$$

Tambahkan 16x pada kedua-dua belah.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Gabungkan 2x dan 16x untuk mendapatkan 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$18x-4y=-10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 11y daripada kedua-dua belah.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Gabungkan 10y dan -11y untuk mendapatkan -y.

$$-y-10x=-12x$$

Tambahkan 12x pada kedua-dua belah.

$$-y-10x+12x=0$$

Gabungkan -10x dan 12x untuk mendapatkan 2x.

$$-y+2x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$18x-4y=-10$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$18x=4y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{18} kali 4y-10.

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

Gantikan \frac{2y-5}{9} dengan x dalam persamaan lain, 2x-y=0.

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

Darabkan 2 kali \frac{2y-5}{9}.

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

Tambahkan \frac{4y}{9} pada -y.

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

Tambahkan \frac{10}{9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

Darabkan \frac{2}{9} kali -2.

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

Tambahkan -\frac{5}{9} pada -\frac{4}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$2x+10-4y=-16x$$

Tambahkan 16x pada kedua-dua belah.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Gabungkan 2x dan 16x untuk mendapatkan 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$18x-4y=-10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 11y daripada kedua-dua belah.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Gabungkan 10y dan -11y untuk mendapatkan -y.

$$-y-10x=-12x$$

Tambahkan 12x pada kedua-dua belah.

$$-y-10x+12x=0$$

Gabungkan -10x dan 12x untuk mendapatkan 2x.

$$-y+2x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$2x+10-4y=-16x$$

Tambahkan 16x pada kedua-dua belah.

$$2x+10-4y+16x=0$$

Gabungkan 2x dan 16x untuk mendapatkan 18x.

$$18x+10-4y=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$18x-4y=-10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 11y daripada kedua-dua belah.

$$10y-10x-11y=-12x$$

Gabungkan 10y dan -11y untuk mendapatkan -y.

$$-y-10x=-12x$$

Tambahkan 12x pada kedua-dua belah.

$$-y-10x+12x=0$$

Gabungkan -10x dan 12x untuk mendapatkan 2x.

$$-y+2x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

Untuk menjadikan 18x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 18.

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

Permudahkan.

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

Tolak 36x-18y=0 daripada 36x-8y=-20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

Tambahkan 36x pada -36x. Seubtan 36x dan -36x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y+18y=-20$$

Tambahkan -8y pada 18y.

$$10y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 2x-y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-\left(-2\right)=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-2$$