Selesaikan {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk p, x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk p dengan mengasingkan p di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2p+3x=10$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2p=-3x+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3x+10.

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

Gantikan -\frac{3x}{2}+5 dengan p dalam persamaan lain, p-x+2=0.

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

Tambahkan -\frac{3x}{2} pada -x.

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

Tambahkan 5 pada 2.

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{14}{5}$$

Gantikan \frac{14}{5} dengan x dalam p=-\frac{3}{2}x+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{14}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{21}{5}.

$$p=\frac{4}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks p dan x.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Untuk menjadikan 2p dan p sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

Permudahkan.

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

Tolak 2p-2x+4=0 daripada 2p+3x=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

Tambahkan 2p pada -2p. Seubtan 2p dan -2p saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x+2x-4=10$$

Tambahkan 3x pada 2x.

$$5x-4=10$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{14}{5}$$

Gantikan \frac{14}{5} dengan x dalam p-x+2=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

Tambahkan -\frac{14}{5} pada 2.

$$p-\frac{4}{5}=0$$

Tambahkan \frac{4}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$p=\frac{4}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$