Selesaikan {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk p, m

$$p=-2$$

$$m=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk p dengan mengasingkan p di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2p+3m=8$$

Tolak 3m daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2p=-3m+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3m+8.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

Gantikan -\frac{3m}{2}+4 dengan p dalam persamaan lain, p+2m=6.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

Tambahkan -\frac{3m}{2} pada 2m.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}m=2$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$m=4$$

Gantikan 4 dengan m dalam p=-\frac{3}{2}m+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali 4.

$$p=-6+4$$

Tambahkan 4 pada -6.

$$p=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=-2,m=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks p dan m.

$$p=-2,m=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Untuk menjadikan 2p dan p sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

Permudahkan.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

Tolak 2p+4m=12 daripada 2p+3m=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

Tambahkan 2p pada -2p. Seubtan 2p dan -2p saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3m-4m=8-12$$

Tambahkan 3m pada -4m.

$$-m=8-12$$

Tambahkan 8 pada -12.

$$-m=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$m=4$$

Gantikan 4 dengan m dalam p+2m=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$p+2\times 4=6$$

Darabkan 2 kali 4.

$$p+8=6$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$p=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=-2,m=4$$