Selesaikan {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4n daripada kedua-dua belah.

$$-m+5-4n=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$-m-4n=-5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2m-3n=130$$

Tambahkan 3n pada kedua-dua belah persamaan.

$$2m=3n+130$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3n+130.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

Gantikan \frac{3n}{2}+65 dengan m dalam persamaan lain, -m-4n=-5.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

Darabkan -1 kali \frac{3n}{2}+65.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

Tambahkan -\frac{3n}{2} pada -4n.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

Tambahkan 65 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$n=-\frac{120}{11}$$

Gantikan -\frac{120}{11} dengan n dalam m=\frac{3}{2}n+65. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan -\frac{120}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

Tambahkan 65 pada -\frac{180}{11}.

$$m=\frac{535}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4n daripada kedua-dua belah.

$$-m+5-4n=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$-m-4n=-5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4n daripada kedua-dua belah.

$$-m+5-4n=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$-m-4n=-5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

Untuk menjadikan 2m dan -m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

Tolak -2m-8n=-10 daripada -2m+3n=-130 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

Tambahkan -2m pada 2m. Seubtan -2m dan 2m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3n+8n=-130+10$$

Tambahkan 3n pada 8n.

$$11n=-130+10$$

Tambahkan -130 pada 10.

$$11n=-120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$n=-\frac{120}{11}$$

Gantikan -\frac{120}{11} dengan n dalam -m-4n=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

Darabkan -4 kali -\frac{120}{11}.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

Tolak \frac{480}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$m=\frac{535}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$