Selesaikan {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2m+3n=1$$

Tolak 3n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2m=-3n+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{-3n+1}{2} dengan m dalam persamaan lain, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Darabkan \frac{5}{3} kali \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Tambahkan -\frac{5n}{2} pada -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Tolak \frac{5}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Gantikan -\frac{1}{27} dengan n dalam m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan -\frac{1}{27} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{1}{18} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$m=\frac{5}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Untuk menjadikan 2m dan \frac{5m}{3} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{5}{3} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Permudahkan.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Tolak \frac{10}{3}m-4n=2 daripada \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Tambahkan \frac{10m}{3} pada -\frac{10m}{3}. Seubtan \frac{10m}{3} dan -\frac{10m}{3} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Tambahkan 5n pada 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Gantikan -\frac{1}{27} dengan n dalam \frac{5}{3}m-2n=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Darabkan -2 kali -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Tolak \frac{2}{27} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$m=\frac{5}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$