Selesaikan {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=24$$

$$b=16$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3b daripada kedua-dua belah.

$$2a-3b=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2a-3b=0$$

Tambahkan 3b pada kedua-dua belah persamaan.

$$2a=3b$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

Gantikan \frac{3b}{2} dengan a dalam persamaan lain, 7a+2b=200.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

Darabkan 7 kali \frac{3b}{2}.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

Tambahkan \frac{21b}{2} pada 2b.

$$\frac{25}{2}b=200$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{25}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=16$$

Gantikan 16 dengan b dalam a=\frac{3}{2}b. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

Darabkan \frac{3}{2} kali 16.

$$a=24$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=24,b=16$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3b daripada kedua-dua belah.

$$2a-3b=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=24,b=16$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3b daripada kedua-dua belah.

$$2a-3b=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

Untuk menjadikan 2a dan 7a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

Permudahkan.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

Tolak 14a+4b=400 daripada 14a-21b=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

Tambahkan 14a pada -14a. Seubtan 14a dan -14a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-21b-4b=-400$$

Tambahkan -21b pada -4b.

$$-25b=-400$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -25.

$$b=16$$

Gantikan 16 dengan b dalam 7a+2b=200. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$7a+2\times 16=200$$

Darabkan 2 kali 16.

$$7a+32=200$$

Tolak 32 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7a=168$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$a=24$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=24,b=16$$