Selesaikan {l}{2a+3b=4}{3a-8b=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { 3 a - 8 b = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a = \frac{47}{25} = 1\frac{22}{25} = 1.88$$

$$b=\frac{2}{25}=0.08$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2a+3b=4$$

Tolak 3b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2a=-3b+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Gantikan -\frac{3b}{2}+2 dengan a dalam persamaan lain, 3a-8b=5.

$$3\left(-\frac{3}{2}b+2\right)-8b=5$$

Darabkan 3 kali -\frac{3b}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}b+6-8b=5$$

Tambahkan -\frac{9b}{2} pada -8b.

$$-\frac{25}{2}b+6=5$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{25}{2}b=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{25}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=\frac{2}{25}$$

Gantikan \frac{2}{25} dengan b dalam a=-\frac{3}{2}b+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{25}+2$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{2}{25} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$a=-\frac{3}{25}+2$$

Tambahkan 2 pada -\frac{3}{25}.

$$a=\frac{47}{25}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-8\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 4-\frac{2}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{25}\\\frac{2}{25}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Untuk menjadikan 2a dan 3a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2a+3\times 3b=3\times 4,2\times 3a+2\left(-8\right)b=2\times 5$$

Permudahkan.

$$6a+9b=12,6a-16b=10$$

Tolak 6a-16b=10 daripada 6a+9b=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6a-6a+9b+16b=12-10$$

Tambahkan 6a pada -6a. Seubtan 6a dan -6a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9b+16b=12-10$$

Tambahkan 9b pada 16b.

$$25b=12-10$$

Tambahkan 12 pada -10.

$$25b=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$b=\frac{2}{25}$$

Gantikan \frac{2}{25} dengan b dalam 3a-8b=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$3a-8\times \frac{2}{25}=5$$

Darabkan -8 kali \frac{2}{25}.

$$3a-\frac{16}{25}=5$$

Tambahkan \frac{16}{25} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3a=\frac{141}{25}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$a=\frac{47}{25}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$