Selesaikan {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2a+3b=4$$

Tolak 3b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2a=-3b+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3b+4.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Gantikan -\frac{3b}{2}+2 dengan a dalam persamaan lain, -2a+3b=-16.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

Darabkan -2 kali -\frac{3b}{2}+2.

$$3b-4+3b=-16$$

Tambahkan 3b pada 3b.

$$6b-4=-16$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6b=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$b=-2$$

Gantikan -2 dengan b dalam a=-\frac{3}{2}b+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali -2.

$$a=3+2$$

Tambahkan 2 pada 3.

$$a=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=5,b=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=5,b=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

Tolak -2a+3b=-16 daripada 2a+3b=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

Tambahkan 3b pada -3b. Seubtan 3b dan -3b saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2a+2a=4+16$$

Tambahkan 2a pada 2a.

$$4a=4+16$$

Tambahkan 4 pada 16.

$$4a=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$a=5$$

Gantikan 5 dengan a dalam -2a+3b=-16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$-2\times 5+3b=-16$$

Darabkan -2 kali 5.

$$-10+3b=-16$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3b=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$b=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=5,b=-2$$