Selesaikan {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Tolak 12x daripada kedua-dua belah.

$$2-y-12x=6+y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2-y-12x-y=6$$

Gabungkan -y dan -y untuk mendapatkan -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$-2y-12x=6-2$$

Tolak 2 daripada 6 untuk mendapatkan 4.

$$-2y-12x=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+4-3y=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2y-12x=4$$

Tambahkan 12x pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=12x+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 12x+4.

$$y=-6x-2$$

Gantikan -6x-2 dengan y dalam persamaan lain, -3y+x=-4.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

Darabkan -3 kali -6x-2.

$$18x+6+x=-4$$

Tambahkan 18x pada x.

$$19x+6=-4$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$19x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$x=-\frac{10}{19}$$

Gantikan -\frac{10}{19} dengan x dalam y=-6x-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

Darabkan -6 kali -\frac{10}{19}.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

Tambahkan -2 pada \frac{60}{19}.

$$y=\frac{22}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Tolak 12x daripada kedua-dua belah.

$$2-y-12x=6+y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2-y-12x-y=6$$

Gabungkan -y dan -y untuk mendapatkan -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$-2y-12x=6-2$$

Tolak 2 daripada 6 untuk mendapatkan 4.

$$-2y-12x=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+4-3y=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 6x+3.

$$2-y=12x+6+y$$

Tolak 12x daripada kedua-dua belah.

$$2-y-12x=6+y$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$2-y-12x-y=6$$

Gabungkan -y dan -y untuk mendapatkan -2y.

$$2-2y-12x=6$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$-2y-12x=6-2$$

Tolak 2 daripada 6 untuk mendapatkan 4.

$$-2y-12x=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+4-3y=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-3y=-4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

Untuk menjadikan -2y dan -3y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -2.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

Permudahkan.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

Tolak 6y-2x=8 daripada 6y+36x=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

Tambahkan 6y pada -6y. Seubtan 6y dan -6y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36x+2x=-12-8$$

Tambahkan 36x pada 2x.

$$38x=-12-8$$

Tambahkan -12 pada -8.

$$38x=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 38.

$$x=-\frac{10}{19}$$

Gantikan -\frac{10}{19} dengan x dalam -3y+x=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

Tambahkan \frac{10}{19} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=\frac{22}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$