Selesaikan {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-19$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Gabungkan 2x dan -3x untuk mendapatkan -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Gabungkan 2y dan 3y untuk mendapatkan 5y.

$$-x+5y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Gabungkan 5x dan -7x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Gabungkan 5y dan 7y untuk mendapatkan 12y.

$$-2x+12y=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+5y=4$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-5y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

Darabkan -1 kali -5y+4.

$$x=5y-4$$

Gantikan 5y-4 dengan x dalam persamaan lain, -2x+12y=2.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

Darabkan -2 kali 5y-4.

$$-10y+8+12y=2$$

Tambahkan -10y pada 12y.

$$2y+8=2$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=5y-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

Darabkan 5 kali -3.

$$x=-15-4$$

Tambahkan -4 pada -15.

$$x=-19$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-19,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Gabungkan 2x dan -3x untuk mendapatkan -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Gabungkan 2y dan 3y untuk mendapatkan 5y.

$$-x+5y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Gabungkan 5x dan -7x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Gabungkan 5y dan 7y untuk mendapatkan 12y.

$$-2x+12y=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-19,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Gabungkan 2x dan -3x untuk mendapatkan -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Gabungkan 2y dan 3y untuk mendapatkan 5y.

$$-x+5y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Gabungkan 5x dan -7x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Gabungkan 5y dan 7y untuk mendapatkan 12y.

$$-2x+12y=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Untuk menjadikan -x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

Permudahkan.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

Tolak 2x-12y=-2 daripada 2x-10y=-8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y+12y=-8+2$$

Tambahkan -10y pada 12y.

$$2y=-8+2$$

Tambahkan -8 pada 2.

$$2y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam -2x+12y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

Darabkan 12 kali -3.

$$-2x-36=2$$

Tambahkan 36 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=38$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-19$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-19,y=-3$$