Selesaikan {l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x-y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2x+2y-x+y=3$$

Gabungkan 2x dan -x untuk mendapatkan x.

$$x+2y+y=3$$

Gabungkan 2y dan y untuk mendapatkan 3y.

$$x+3y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-y.

$$x+y-2x+2y=1$$

Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$-x+y+2y=1$$

Gabungkan y dan 2y untuk mendapatkan 3y.

$$-x+3y=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+3y=3$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-3y+3$$

Gantikan -3y+3 dengan x dalam persamaan lain, -x+3y=1.

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

Darabkan -1 kali -3y+3.

$$3y-3+3y=1$$

Tambahkan 3y pada 3y.

$$6y-3=1$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{2}{3} dengan y dalam x=-3y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

Darabkan -3 kali \frac{2}{3}.

$$x=-2+3$$

Tambahkan 3 pada -2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x-y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2x+2y-x+y=3$$

Gabungkan 2x dan -x untuk mendapatkan x.

$$x+2y+y=3$$

Gabungkan 2y dan y untuk mendapatkan 3y.

$$x+3y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-y.

$$x+y-2x+2y=1$$

Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$-x+y+2y=1$$

Gabungkan y dan 2y untuk mendapatkan 3y.

$$-x+3y=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x-y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2x+2y-x+y=3$$

Gabungkan 2x dan -x untuk mendapatkan x.

$$x+2y+y=3$$

Gabungkan 2y dan y untuk mendapatkan 3y.

$$x+3y=3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x-y.

$$x+y-2x+2y=1$$

Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$-x+y+2y=1$$

Gabungkan y dan 2y untuk mendapatkan 3y.

$$-x+3y=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Tolak -x+3y=1 daripada x+3y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x+x+3y-3y=3-1$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x+x=3-1$$

Tambahkan x pada x.

$$2x=3-1$$

Tambahkan 3 pada -1.

$$2x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam -x+3y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-1+3y=1$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$