Selesaikan {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk dapatkan 4.

$$2x+6=3y+4$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$2x+6-3y=4$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah.

$$2x-3y=4-6$$

Tolak 6 daripada 4 untuk mendapatkan -2.

$$2x-3y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Tambahkan -4 dan 3 untuk dapatkan -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Gabungkan 3x dan -2x untuk mendapatkan x.

$$x-3y-3=-1$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah.

$$x-3y=-1+3$$

Tambahkan -1 dan 3 untuk dapatkan 2.

$$x-3y=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=-2$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Gantikan \frac{3y}{2}-1 dengan x dalam persamaan lain, x-3y=2.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=2$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada -3y.

$$-\frac{3}{2}y-1=2$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{2}y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)-1$$

Darabkan \frac{3}{2} kali -2.

$$x=-3-1$$

Tambahkan -1 pada -3.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk dapatkan 4.

$$2x+6=3y+4$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$2x+6-3y=4$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah.

$$2x-3y=4-6$$

Tolak 6 daripada 4 untuk mendapatkan -2.

$$2x-3y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Tambahkan -4 dan 3 untuk dapatkan -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Gabungkan 3x dan -2x untuk mendapatkan x.

$$x-3y-3=-1$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah.

$$x-3y=-1+3$$

Tambahkan -1 dan 3 untuk dapatkan 2.

$$x-3y=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-2\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x+3.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y+1.

$$2x+6=3y+3+1$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk dapatkan 4.

$$2x+6=3y+4$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$2x+6-3y=4$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah.

$$2x-3y=4-6$$

Tolak 6 daripada 4 untuk mendapatkan -2.

$$2x-3y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x-y-1.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-2.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

Tambahkan -4 dan 3 untuk dapatkan -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

Gabungkan 3x dan -2x untuk mendapatkan x.

$$x-3y-3=-1$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah.

$$x-3y=-1+3$$

Tambahkan -1 dan 3 untuk dapatkan 2.

$$x-3y=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

Tolak x-3y=2 daripada 2x-3y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-x-3y+3y=-2-2$$

Tambahkan -3y pada 3y. Seubtan -3y dan 3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-x=-2-2$$

Tambahkan 2x pada -x.

$$x=-2-2$$

Tambahkan -2 pada -2.

$$x=-4$$

Gantikan -4 dengan x dalam x-3y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-4-3y=2$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-2$$