Selesaikan {l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

Darabkan 2 kali x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

Darabkan -3 kali y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

Tambahkan 4 pada 3.

$$2x-3y+7=13$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x-3y=6$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

Gantikan \frac{3y}{2}+3 dengan x dalam persamaan lain, 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9.

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Tambahkan 3 pada 2.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Darabkan 3 kali \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

Darabkan 5 kali y-1.

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

Tambahkan \frac{9y}{2} pada 5y.

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

Tambahkan 15 pada -5.

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{11}{5}$$

Gantikan \frac{11}{5} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan \frac{11}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{33}{10}+3$$

Tambahkan 3 pada \frac{33}{10}.

$$x=\frac{63}{10}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Permudahkan persamaan pertama untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

Darabkan 2 kali x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

Darabkan -3 kali y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

Tambahkan 4 pada 3.

$$2x-3y+7=13$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x-3y=6$$

Permudahkan persamaan kedua untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Darabkan 3 kali x+2.

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

Darabkan 5 kali y-1.

$$3x+6+5y-5=30.9$$

Tambahkan 6 pada -5.

$$3x+5y+1=30.9$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x+5y=29.9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$