Selesaikan {l}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3x/2-y/3=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { \frac { 3 x } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Gabungkan 6x dan -2x untuk mendapatkan 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Tambahkan 10y pada kedua-dua belah.

$$4x-2y+10y=-64$$

Gabungkan -2y dan 10y untuk mendapatkan 8y.

$$4x+8y=-64$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\times 3x-2y=36$$

Darabkan 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$9x-2y=36$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+8y=-64$$

Tolak 8y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-8y-64$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -8y-64.

$$x=-2y-16$$

Gantikan -2y-16 dengan x dalam persamaan lain, 9x-2y=36.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=36$$

Darabkan 9 kali -2y-16.

$$-18y-144-2y=36$$

Tambahkan -18y pada -2y.

$$-20y-144=36$$

Tambahkan 144 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-20y=180$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -20.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam x=-2y-16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-9\right)-16$$

Darabkan -2 kali -9.

$$x=18-16$$

Tambahkan -16 pada 18.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Gabungkan 6x dan -2x untuk mendapatkan 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Tambahkan 10y pada kedua-dua belah.

$$4x-2y+10y=-64$$

Gabungkan -2y dan 10y untuk mendapatkan 8y.

$$4x+8y=-64$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\times 3x-2y=36$$

Darabkan 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$9x-2y=36$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 3x-y.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-5y.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Gabungkan 6x dan -2x untuk mendapatkan 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Tambahkan 10y pada kedua-dua belah.

$$4x-2y+10y=-64$$

Gabungkan -2y dan 10y untuk mendapatkan 8y.

$$4x+8y=-64$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,3.

$$3\times 3x-2y=36$$

Darabkan 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$9x-2y=36$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Untuk menjadikan 4x dan 9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36$$

Permudahkan.

$$36x+72y=-576,36x-8y=144$$

Tolak 36x-8y=144 daripada 36x+72y=-576 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$36x-36x+72y+8y=-576-144$$

Tambahkan 36x pada -36x. Seubtan 36x dan -36x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$72y+8y=-576-144$$

Tambahkan 72y pada 8y.

$$80y=-576-144$$

Tambahkan -576 pada -144.

$$80y=-720$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 80.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam 9x-2y=36. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$9x-2\left(-9\right)=36$$

Darabkan -2 kali -9.

$$9x+18=36$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-9$$