Selesaikan {l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah.

$$6x+3y=31+8$$

Tambahkan 31 dan 8 untuk dapatkan 39.

$$6x+3y=39$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,5.

$$5x-2y=50$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+3y=39$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-3y+39$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -3y+39.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Gantikan \frac{-y+13}{2} dengan x dalam persamaan lain, 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

Darabkan 5 kali \frac{-y+13}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

Tambahkan -\frac{5y}{2} pada -2y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

Tolak \frac{65}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Gantikan -\frac{35}{9} dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} dengan -\frac{35}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

Tambahkan \frac{13}{2} pada \frac{35}{18} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{76}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah.

$$6x+3y=31+8$$

Tambahkan 31 dan 8 untuk dapatkan 39.

$$6x+3y=39$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,5.

$$5x-2y=50$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 3x-4.

$$6x-8+3y=31$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah.

$$6x+3y=31+8$$

Tambahkan 31 dan 8 untuk dapatkan 39.

$$6x+3y=39$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 10, gandaan sepunya terkecil sebanyak 2,5.

$$5x-2y=50$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

Untuk menjadikan 6x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

Permudahkan.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

Tolak 30x-12y=300 daripada 30x+15y=195 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

Tambahkan 30x pada -30x. Seubtan 30x dan -30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y+12y=195-300$$

Tambahkan 15y pada 12y.

$$27y=195-300$$

Tambahkan 195 pada -300.

$$27y=-105$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 27.

$$y=-\frac{35}{9}$$

Gantikan -\frac{35}{9} dengan y dalam 5x-2y=50. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

Darabkan -2 kali -\frac{35}{9}.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

Tolak \frac{70}{9} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{380}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{76}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$