Selesaikan {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Darabkan 2 kali 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Darabkan 3 kali y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Tambahkan -6 pada 12.

$$4x+3y+6=7$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x+3y=1$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Gantikan \frac{-3y+1}{4} dengan x dalam persamaan lain, 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada 2.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Darabkan 4 kali \frac{-3y+9}{4}.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

Darabkan -5 kali -y+2.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

Tambahkan -3y pada 5y.

$$2y+9-10=-3$$

Tambahkan 9 pada -10.

$$2y-1=-3$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali -1.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada \frac{3}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Permudahkan persamaan pertama untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

Darabkan 2 kali 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

Darabkan 3 kali y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

Tambahkan -6 pada 12.

$$4x+3y+6=7$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x+3y=1$$

Permudahkan persamaan kedua untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

Darabkan 4 kali x+2.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

Darabkan -5 kali -y+2.

$$4x+8+5y-10=-3$$

Tambahkan 8 pada -10.

$$4x+5y-2=-3$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x+5y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$