Selesaikan {l}{18x+y=9}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 18 x + y = 9 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{6}{19}\approx 0.315789474$$

$$y = \frac{63}{19} = 3\frac{6}{19} \approx 3.315789474$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$10y+x-10x=y+27$$

Gabungkan x dan -10x untuk mendapatkan -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$10y-9x-y=27$$

Gabungkan 10y dan -y untuk mendapatkan 9y.

$$9y-9x=27$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$18x+y=9,-9x+9y=27$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$18x+y=9$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$18x=-y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(-y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{18} kali -y+9.

$$x=-\frac{1}{18}y+\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{y}{18}+\frac{1}{2} dengan x dalam persamaan lain, -9x+9y=27.

$$-9\left(-\frac{1}{18}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

Darabkan -9 kali -\frac{y}{18}+\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

Tambahkan \frac{y}{2} pada 9y.

$$\frac{19}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{2}y=\frac{63}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{63}{19}$$

Gantikan \frac{63}{19} dengan y dalam x=-\frac{1}{18}y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{18}\times \frac{63}{19}+\frac{1}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{18} dengan \frac{63}{19} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{7}{38}+\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada -\frac{7}{38} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{6}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{6}{19},y=\frac{63}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$10y+x-10x=y+27$$

Gabungkan x dan -10x untuk mendapatkan -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$10y-9x-y=27$$

Gabungkan 10y dan -y untuk mendapatkan 9y.

$$9y-9x=27$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$18x+y=9,-9x+9y=27$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{18\times 9-\left(-9\right)}&-\frac{1}{18\times 9-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{18\times 9-\left(-9\right)}&\frac{18}{18\times 9-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{1}{171}\\\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 9-\frac{1}{171}\times 27\\\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 27\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\\\frac{63}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{6}{19},y=\frac{63}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$10y+x-10x=y+27$$

Gabungkan x dan -10x untuk mendapatkan -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$10y-9x-y=27$$

Gabungkan 10y dan -y untuk mendapatkan 9y.

$$9y-9x=27$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$18x+y=9,-9x+9y=27$$

Untuk menjadikan 18x dan -9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 18.

$$-9\times 18x-9y=-9\times 9,18\left(-9\right)x+18\times 9y=18\times 27$$

Permudahkan.

$$-162x-9y=-81,-162x+162y=486$$

Tolak -162x+162y=486 daripada -162x-9y=-81 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-162x+162x-9y-162y=-81-486$$

Tambahkan -162x pada 162x. Seubtan -162x dan 162x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y-162y=-81-486$$

Tambahkan -9y pada -162y.

$$-171y=-81-486$$

Tambahkan -81 pada -486.

$$-171y=-567$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -171.

$$y=\frac{63}{19}$$

Gantikan \frac{63}{19} dengan y dalam -9x+9y=27. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-9x+9\times \frac{63}{19}=27$$

Darabkan 9 kali \frac{63}{19}.

$$-9x+\frac{567}{19}=27$$

Tolak \frac{567}{19} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=-\frac{54}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=\frac{6}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{6}{19},y=\frac{63}{19}$$