Selesaikan {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$16m+50n=55$$

Tolak 50n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$16m=-50n+55$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

Darabkan \frac{1}{16} kali -50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

Gantikan -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} dengan m dalam persamaan lain, 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

Darabkan 2 kali -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

Tambahkan -\frac{25n}{4} pada 4n.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

Tolak \frac{55}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$n=\frac{5}{6}$$

Gantikan \frac{5}{6} dengan n dalam m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

Darabkan -\frac{25}{8} dengan \frac{5}{6} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

Tambahkan \frac{55}{16} pada -\frac{125}{48} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$m=\frac{5}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Untuk menjadikan 16m dan 2m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 16.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

Permudahkan.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

Tolak 32m+64n=80 daripada 32m+100n=110 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

Tambahkan 32m pada -32m. Seubtan 32m dan -32m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$100n-64n=110-80$$

Tambahkan 100n pada -64n.

$$36n=110-80$$

Tambahkan 110 pada -80.

$$36n=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 36.

$$n=\frac{5}{6}$$

Gantikan \frac{5}{6} dengan n dalam 2m+4n=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

Darabkan 4 kali \frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

Tolak \frac{10}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2m=\frac{5}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$m=\frac{5}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$