Selesaikan {l}{15x+12y=1950}{7x+16y=1950}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 15 x + 12 y = 1950 } \\ { 7 x + 16 y = 1950 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=50$$

$$y=100$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$15x+12y=1950$$

Tolak 12y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$15x=-12y+1950$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-12y+1950\right)$$

Darabkan \frac{1}{15} kali -12y+1950.

$$x=-\frac{4}{5}y+130$$

Gantikan -\frac{4y}{5}+130 dengan x dalam persamaan lain, 7x+16y=1950.

$$7\left(-\frac{4}{5}y+130\right)+16y=1950$$

Darabkan 7 kali -\frac{4y}{5}+130.

$$-\frac{28}{5}y+910+16y=1950$$

Tambahkan -\frac{28y}{5} pada 16y.

$$\frac{52}{5}y+910=1950$$

Tolak 910 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{52}{5}y=1040$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{52}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=100$$

Gantikan 100 dengan y dalam x=-\frac{4}{5}y+130. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{5}\times 100+130$$

Darabkan -\frac{4}{5} kali 100.

$$x=-80+130$$

Tambahkan 130 pada -80.

$$x=50$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=50,y=100$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{15\times 16-12\times 7}&-\frac{12}{15\times 16-12\times 7}\\-\frac{7}{15\times 16-12\times 7}&\frac{15}{15\times 16-12\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{13}\\-\frac{7}{156}&\frac{5}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 1950-\frac{1}{13}\times 1950\\-\frac{7}{156}\times 1950+\frac{5}{52}\times 1950\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\100\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=50,y=100$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Untuk menjadikan 15x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 15.

$$7\times 15x+7\times 12y=7\times 1950,15\times 7x+15\times 16y=15\times 1950$$

Permudahkan.

$$105x+84y=13650,105x+240y=29250$$

Tolak 105x+240y=29250 daripada 105x+84y=13650 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$105x-105x+84y-240y=13650-29250$$

Tambahkan 105x pada -105x. Seubtan 105x dan -105x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$84y-240y=13650-29250$$

Tambahkan 84y pada -240y.

$$-156y=13650-29250$$

Tambahkan 13650 pada -29250.

$$-156y=-15600$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -156.

$$y=100$$

Gantikan 100 dengan y dalam 7x+16y=1950. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+16\times 100=1950$$

Darabkan 16 kali 100.

$$7x+1600=1950$$

Tolak 1600 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=350$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=50$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=50,y=100$$