Selesaikan {l}{125x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$125x+110y=6100$$

Tolak 110y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$125x=-110y+6100$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 125.

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

Darabkan \frac{1}{125} kali -110y+6100.

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

Gantikan -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} dengan x dalam persamaan lain, x+y=50.

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

Tambahkan -\frac{22y}{25} pada y.

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

Tolak \frac{244}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{25} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

Darabkan -\frac{22}{25} kali 10.

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

Tambahkan \frac{244}{5} pada -\frac{44}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=40$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=40,y=10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=40,y=10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Untuk menjadikan 125x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 125.

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

Permudahkan.

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

Tolak 125x+125y=6250 daripada 125x+110y=6100 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

Tambahkan 125x pada -125x. Seubtan 125x dan -125x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$110y-125y=6100-6250$$

Tambahkan 110y pada -125y.

$$-15y=6100-6250$$

Tambahkan 6100 pada -6250.

$$-15y=-150$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam x+y=50. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+10=50$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=40$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=40,y=10$$