Selesaikan {l}{12y+20x=112}{12x+20y=144}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 12 y + 20 x = 112 } \\ { 12 x + 20 y = 144 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=2$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$12y+20x=112$$

Tolak 20x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$12y=-20x+112$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$y=\frac{1}{12}\left(-20x+112\right)$$

Darabkan \frac{1}{12} kali -20x+112.

$$y=-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}$$

Gantikan \frac{-5x+28}{3} dengan y dalam persamaan lain, 20y+12x=144.

$$20\left(-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}\right)+12x=144$$

Darabkan 20 kali \frac{-5x+28}{3}.

$$-\frac{100}{3}x+\frac{560}{3}+12x=144$$

Tambahkan -\frac{100x}{3} pada 12x.

$$-\frac{64}{3}x+\frac{560}{3}=144$$

Tolak \frac{560}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{64}{3}x=-\frac{128}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{64}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y=-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{5}{3}\times 2+\frac{28}{3}$$

Darabkan -\frac{5}{3} kali 2.

$$y=\frac{-10+28}{3}$$

Tambahkan \frac{28}{3} pada -\frac{10}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12\times 12-20\times 20}&-\frac{20}{12\times 12-20\times 20}\\-\frac{20}{12\times 12-20\times 20}&\frac{12}{12\times 12-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{64}&\frac{5}{64}\\\frac{5}{64}&-\frac{3}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{64}\times 112+\frac{5}{64}\times 144\\\frac{5}{64}\times 112-\frac{3}{64}\times 144\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=6,x=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

Untuk menjadikan 12y dan 20y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 20 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 12.

$$20\times 12y+20\times 20x=20\times 112,12\times 20y+12\times 12x=12\times 144$$

Permudahkan.

$$240y+400x=2240,240y+144x=1728$$

Tolak 240y+144x=1728 daripada 240y+400x=2240 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$240y-240y+400x-144x=2240-1728$$

Tambahkan 240y pada -240y. Seubtan 240y dan -240y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$400x-144x=2240-1728$$

Tambahkan 400x pada -144x.

$$256x=2240-1728$$

Tambahkan 2240 pada -1728.

$$256x=512$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 256.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam 20y+12x=144. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$20y+12\times 2=144$$

Darabkan 12 kali 2.

$$20y+24=144$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$20y=120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=2$$