Selesaikan {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$11x+19y=25$$

Tolak 19y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$11x=-19y+25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

Darabkan \frac{1}{11} kali -19y+25.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

Gantikan \frac{-19y+25}{11} dengan x dalam persamaan lain, 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

Darabkan 19 kali \frac{-19y+25}{11}.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

Tambahkan -\frac{361y}{11} pada 11y.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

Tolak \frac{475}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{240}{11} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{31}{24}$$

Gantikan \frac{31}{24} dengan y dalam x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

Darabkan -\frac{19}{11} dengan \frac{31}{24} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

Tambahkan \frac{25}{11} pada -\frac{589}{264} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{24}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Untuk menjadikan 11x dan 19x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 19 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 11.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

Permudahkan.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

Tolak 209x+121y=165 daripada 209x+361y=475 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

Tambahkan 209x pada -209x. Seubtan 209x dan -209x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$361y-121y=475-165$$

Tambahkan 361y pada -121y.

$$240y=475-165$$

Tambahkan 475 pada -165.

$$240y=310$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 240.

$$y=\frac{31}{24}$$

Gantikan \frac{31}{24} dengan y dalam 19x+11y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

Darabkan 11 kali \frac{31}{24}.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

Tolak \frac{341}{24} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$19x=\frac{19}{24}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$x=\frac{1}{24}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$