Selesaikan {l}{100p+q=2.002}{500p+q=2.01}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 100 p + q = 2.002 } \\ { 500 p + q = 2.01 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk p, q

$$p=0.00002$$

$$q=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$100p+q=2.002,500p+q=2.01$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk p dengan mengasingkan p di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$100p+q=2.002$$

Tolak q daripada kedua-dua belah persamaan.

$$100p=-q+2.002$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 100.

$$p=\frac{1}{100}\left(-q+2.002\right)$$

Darabkan \frac{1}{100} kali -q+2.002.

$$p=-\frac{1}{100}q+\frac{1001}{50000}$$

Gantikan -\frac{q}{100}+\frac{1001}{50000} dengan p dalam persamaan lain, 500p+q=2.01.

$$500\left(-\frac{1}{100}q+\frac{1001}{50000}\right)+q=2.01$$

Darabkan 500 kali -\frac{q}{100}+\frac{1001}{50000}.

$$-5q+\frac{1001}{100}+q=2.01$$

Tambahkan -5q pada q.

$$-4q+\frac{1001}{100}=2.01$$

Tolak \frac{1001}{100} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4q=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$q=2$$

Gantikan 2 dengan q dalam p=-\frac{1}{100}q+\frac{1001}{50000}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$p=-\frac{1}{100}\times 2+\frac{1001}{50000}$$

Darabkan -\frac{1}{100} kali 2.

$$p=-\frac{1}{50}+\frac{1001}{50000}$$

Tambahkan \frac{1001}{50000} pada -\frac{1}{50} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$p=\frac{1}{50000}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=\frac{1}{50000},q=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$100p+q=2.002,500p+q=2.01$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100-500}&-\frac{1}{100-500}\\-\frac{500}{100-500}&\frac{100}{100-500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{400}&\frac{1}{400}\\\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{400}\times 2.002+\frac{1}{400}\times 2.01\\\frac{5}{4}\times 2.002-\frac{1}{4}\times 2.01\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50000}\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks p dan q.

$$p=\frac{1}{50000},q=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$100p+q=2.002,500p+q=2.01$$

Tolak 500p+q=2.01 daripada 100p+q=2.002 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$100p-500p+q-q=2.002-2.01$$

Tambahkan q pada -q. Seubtan q dan -q saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$100p-500p=2.002-2.01$$

Tambahkan 100p pada -500p.

$$-400p=2.002-2.01$$

Tambahkan 2.002 pada -2.01 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-400p=-0.008$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -400.

$$p=\frac{1}{50000}$$

Gantikan \frac{1}{50000} dengan p dalam 500p+q=2.01. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk q.

$$500\times \frac{1}{50000}+q=2.01$$

Darabkan 500 kali \frac{1}{50000}.

$$\frac{1}{100}+q=2.01$$

Tolak \frac{1}{100} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$q=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=\frac{1}{50000},q=2$$