Selesaikan {l}{10y+2x=16}{x=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 y + 2 x = 16 } \\ { x = 3 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=3$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10y+2x=16$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10y=-2x+16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=\frac{1}{10}\left(-2x+16\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -2x+16.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}$$

Gantikan \frac{-x+8}{5} dengan y dalam persamaan lain, -3y+x=0.

$$-3\left(-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}\right)+x=0$$

Darabkan -3 kali \frac{-x+8}{5}.

$$\frac{3}{5}x-\frac{24}{5}+x=0$$

Tambahkan \frac{3x}{5} pada x.

$$\frac{8}{5}x-\frac{24}{5}=0$$

Tambahkan \frac{24}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{8}{5}x=\frac{24}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{8}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam y=-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{1}{5}\times 3+\frac{8}{5}$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali 3.

$$y=\frac{-3+8}{5}$$

Tambahkan \frac{8}{5} pada -\frac{3}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&-\frac{1}{8}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\times 16\\\frac{3}{16}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=1,x=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x-3y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

Untuk menjadikan 10y dan -3y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 10.

$$-3\times 10y-3\times 2x=-3\times 16,10\left(-3\right)y+10x=0$$

Permudahkan.

$$-30y-6x=-48,-30y+10x=0$$

Tolak -30y+10x=0 daripada -30y-6x=-48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-30y+30y-6x-10x=-48$$

Tambahkan -30y pada 30y. Seubtan -30y dan 30y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6x-10x=-48$$

Tambahkan -6x pada -10x.

$$-16x=-48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -16.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam -3y+x=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-3y+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=3$$