Selesaikan {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6y daripada kedua-dua belah.

$$10x+y-6y=5$$

Gabungkan y dan -6y untuk mendapatkan -5y.

$$10x-5y=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$10y+x-10x=y+27$$

Gabungkan x dan -10x untuk mendapatkan -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$10y-9x-y=27$$

Gabungkan 10y dan -y untuk mendapatkan 9y.

$$9y-9x=27$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10x-5y=5$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=5y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali 5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{1+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

Darabkan -9 kali \frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

Tambahkan -\frac{9y}{2} pada 9y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{7}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6y daripada kedua-dua belah.

$$10x+y-6y=5$$

Gabungkan y dan -6y untuk mendapatkan -5y.

$$10x-5y=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$10y+x-10x=y+27$$

Gabungkan x dan -10x untuk mendapatkan -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$10y-9x-y=27$$

Gabungkan 10y dan -y untuk mendapatkan 9y.

$$9y-9x=27$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6y daripada kedua-dua belah.

$$10x+y-6y=5$$

Gabungkan y dan -6y untuk mendapatkan -5y.

$$10x-5y=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 10x daripada kedua-dua belah.

$$10y+x-10x=y+27$$

Gabungkan x dan -10x untuk mendapatkan -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$10y-9x-y=27$$

Gabungkan 10y dan -y untuk mendapatkan 9y.

$$9y-9x=27$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Untuk menjadikan 10x dan -9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 10.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

Permudahkan.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

Tolak -90x+90y=270 daripada -90x+45y=-45 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

Tambahkan -90x pada 90x. Seubtan -90x dan 90x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$45y-90y=-45-270$$

Tambahkan 45y pada -90y.

$$-45y=-45-270$$

Tambahkan -45 pada -270.

$$-45y=-315$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -45.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam -9x+9y=27. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-9x+9\times 7=27$$

Darabkan 9 kali 7.

$$-9x+63=27$$

Tolak 63 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=-36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=7$$