Selesaikan {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=10$$

$$y=14$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10x+5y=170$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=-5y+170$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -5y+170.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

Gantikan -\frac{y}{2}+17 dengan x dalam persamaan lain, 6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

Darabkan 6 kali -\frac{y}{2}+17.

$$-3y+102+10y=200$$

Tambahkan -3y pada 10y.

$$7y+102=200$$

Tolak 102 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=98$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=14$$

Gantikan 14 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 14.

$$x=-7+17$$

Tambahkan 17 pada -7.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=14$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=10,y=14$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Untuk menjadikan 10x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 10.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

Permudahkan.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

Tolak 60x+100y=2000 daripada 60x+30y=1020 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

Tambahkan 60x pada -60x. Seubtan 60x dan -60x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$30y-100y=1020-2000$$

Tambahkan 30y pada -100y.

$$-70y=1020-2000$$

Tambahkan 1020 pada -2000.

$$-70y=-980$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -70.

$$y=14$$

Gantikan 14 dengan y dalam 6x+10y=200. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+10\times 14=200$$

Darabkan 10 kali 14.

$$6x+140=200$$

Tolak 140 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=14$$