Selesaikan {l}{10x+25y=600}{15x+30y=750}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 25 y = 600 } \\ { 15 x + 30 y = 750 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10x+25y=600$$

Tolak 25y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=-25y+600$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-25y+600\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -25y+600.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Gantikan -\frac{5y}{2}+60 dengan x dalam persamaan lain, 15x+30y=750.

$$15\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+30y=750$$

Darabkan 15 kali -\frac{5y}{2}+60.

$$-\frac{75}{2}y+900+30y=750$$

Tambahkan -\frac{75y}{2} pada 30y.

$$-\frac{15}{2}y+900=750$$

Tolak 900 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{15}{2}y=-150$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{15}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=20$$

Gantikan 20 dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y+60. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{2}\times 20+60$$

Darabkan -\frac{5}{2} kali 20.

$$x=-50+60$$

Tambahkan 60 pada -50.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=20$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{10\times 30-25\times 15}&-\frac{25}{10\times 30-25\times 15}\\-\frac{15}{10\times 30-25\times 15}&\frac{10}{10\times 30-25\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 600+\frac{1}{3}\times 750\\\frac{1}{5}\times 600-\frac{2}{15}\times 750\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=10,y=20$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Untuk menjadikan 10x dan 15x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 15 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 10.

$$15\times 10x+15\times 25y=15\times 600,10\times 15x+10\times 30y=10\times 750$$

Permudahkan.

$$150x+375y=9000,150x+300y=7500$$

Tolak 150x+300y=7500 daripada 150x+375y=9000 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$150x-150x+375y-300y=9000-7500$$

Tambahkan 150x pada -150x. Seubtan 150x dan -150x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$375y-300y=9000-7500$$

Tambahkan 375y pada -300y.

$$75y=9000-7500$$

Tambahkan 9000 pada -7500.

$$75y=1500$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 75.

$$y=20$$

Gantikan 20 dengan y dalam 15x+30y=750. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$15x+30\times 20=750$$

Darabkan 30 kali 20.

$$15x+600=750$$

Tolak 600 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$15x=150$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=20$$