Selesaikan {l}{10x+18y=-1}{16x-9y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 18 y = - 1 } \\ { 16 x - 9 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{11}{42}\approx -0.261904762$$

$$y=\frac{17}{189}\approx 0.08994709$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10x+18y=-1$$

Tolak 18y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=-18y-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-18y-1\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -18y-1.

$$x=-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}$$

Gantikan -\frac{9y}{5}-\frac{1}{10} dengan x dalam persamaan lain, 16x-9y=-5.

$$16\left(-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}\right)-9y=-5$$

Darabkan 16 kali -\frac{9y}{5}-\frac{1}{10}.

$$-\frac{144}{5}y-\frac{8}{5}-9y=-5$$

Tambahkan -\frac{144y}{5} pada -9y.

$$-\frac{189}{5}y-\frac{8}{5}=-5$$

Tambahkan \frac{8}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{189}{5}y=-\frac{17}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{189}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{17}{189}$$

Gantikan \frac{17}{189} dengan y dalam x=-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{9}{5}\times \frac{17}{189}-\frac{1}{10}$$

Darabkan -\frac{9}{5} dengan \frac{17}{189} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{17}{105}-\frac{1}{10}$$

Tambahkan -\frac{1}{10} pada -\frac{17}{105} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{11}{42}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{10\left(-9\right)-18\times 16}&-\frac{18}{10\left(-9\right)-18\times 16}\\-\frac{16}{10\left(-9\right)-18\times 16}&\frac{10}{10\left(-9\right)-18\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}&\frac{1}{21}\\\frac{8}{189}&-\frac{5}{189}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}\left(-1\right)+\frac{1}{21}\left(-5\right)\\\frac{8}{189}\left(-1\right)-\frac{5}{189}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{42}\\\frac{17}{189}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

Untuk menjadikan 10x dan 16x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 16 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 10.

$$16\times 10x+16\times 18y=16\left(-1\right),10\times 16x+10\left(-9\right)y=10\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$160x+288y=-16,160x-90y=-50$$

Tolak 160x-90y=-50 daripada 160x+288y=-16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$160x-160x+288y+90y=-16+50$$

Tambahkan 160x pada -160x. Seubtan 160x dan -160x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$288y+90y=-16+50$$

Tambahkan 288y pada 90y.

$$378y=-16+50$$

Tambahkan -16 pada 50.

$$378y=34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 378.

$$y=\frac{17}{189}$$

Gantikan \frac{17}{189} dengan y dalam 16x-9y=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$16x-9\times \frac{17}{189}=-5$$

Darabkan -9 kali \frac{17}{189}.

$$16x-\frac{17}{21}=-5$$

Tambahkan \frac{17}{21} pada kedua-dua belah persamaan.

$$16x=-\frac{88}{21}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$x=-\frac{11}{42}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$