Selesaikan {l}{10x+10y=9}{5x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10x+10y=9$$

Tolak 10y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=-10y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -10y+9.

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

Gantikan -y+\frac{9}{10} dengan x dalam persamaan lain, 5x-2y=1.

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

Darabkan 5 kali -y+\frac{9}{10}.

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

Tambahkan -5y pada -2y.

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

Tolak \frac{9}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{1}{2} dengan y dalam x=-y+\frac{9}{10}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

Tambahkan \frac{9}{10} pada -\frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{2}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Untuk menjadikan 10x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 10.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

Permudahkan.

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

Tolak 50x-20y=10 daripada 50x+50y=45 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

Tambahkan 50x pada -50x. Seubtan 50x dan -50x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$50y+20y=45-10$$

Tambahkan 50y pada 20y.

$$70y=45-10$$

Tambahkan 45 pada -10.

$$70y=35$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 70.

$$y=\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{1}{2} dengan y dalam 5x-2y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

Darabkan -2 kali \frac{1}{2}.

$$5x-1=1$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{2}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$