Selesaikan {l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=20$$

$$y=10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$1.5x-3.5y=-5$$

Tambahkan \frac{7y}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$1.5x=3.5y-5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 1.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

Darabkan \frac{2}{3} kali \frac{7y}{2}-5.

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

Gantikan \frac{7y-10}{3} dengan x dalam persamaan lain, -1.2x+2.5y=1.

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

Darabkan -1.2 kali \frac{7y-10}{3}.

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

Tambahkan -\frac{14y}{5} pada \frac{5y}{2}.

$$-0.3y+4=1$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.3y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.3 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

Darabkan \frac{7}{3} kali 10.

$$x=\frac{70-10}{3}$$

Tambahkan -\frac{10}{3} pada \frac{70}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=20$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=20,y=10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=20,y=10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Untuk menjadikan \frac{3x}{2} dan -\frac{6x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1.2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.5.

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

Permudahkan.

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

Tolak -1.8x+3.75y=1.5 daripada -1.8x+4.2y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

Tambahkan -\frac{9x}{5} pada \frac{9x}{5}. Seubtan -\frac{9x}{5} dan \frac{9x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

Tambahkan \frac{21y}{5} pada -\frac{15y}{4}.

$$0.45y=6-1.5$$

Tambahkan 6 pada -1.5.

$$0.45y=4.5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.45 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam -1.2x+2.5y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

Darabkan 2.5 kali 10.

$$-1.2x+25=1$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-1.2x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -1.2 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=20$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=20,y=10$$