Selesaikan {l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$0.5x-0.8y+9=4$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.5x-0.8y=-5$$

Tambahkan \frac{4y}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$0.5x=0.8y-5$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

Darabkan 2 kali \frac{4y}{5}-5.

$$x=1.6y-10$$

Gantikan \frac{8y}{5}-10 dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4.

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

Darabkan \frac{1}{3} kali \frac{8y}{5}-10.

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

Tambahkan \frac{8y}{15} pada \frac{y}{5}.

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{15} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam x=1.6y-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=1.6\times 10-10$$

Darabkan 1.6 kali 10.

$$x=16-10$$

Tambahkan -10 pada 16.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Untuk menjadikan \frac{x}{2} dan \frac{x}{3} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{1}{3} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 0.5.

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

Permudahkan.

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

Tolak \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 daripada \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Tambahkan \frac{x}{6} pada -\frac{x}{6}. Seubtan \frac{x}{6} dan -\frac{x}{6} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Tambahkan -\frac{4y}{15} pada -\frac{y}{10}.

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada -2.

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{30} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 10.

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}x=2$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=10$$