Selesaikan {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=28$$

$$y=30$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$0.5x+0.7y=35$$

Tolak \frac{7y}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.5x=-0.7y+35$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

Darabkan 2 kali -\frac{7y}{10}+35.

$$x=-1.4y+70$$

Gantikan -\frac{7y}{5}+70 dengan x dalam persamaan lain, x+0.4y=40.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

Tambahkan -\frac{7y}{5} pada \frac{2y}{5}.

$$-y+70=40$$

Tolak 70 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=30$$

Gantikan 30 dengan y dalam x=-1.4y+70. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-1.4\times 30+70$$

Darabkan -1.4 kali 30.

$$x=-42+70$$

Tambahkan 70 pada -42.

$$x=28$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=28,y=30$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=28,y=30$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Untuk menjadikan \frac{x}{2} dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 0.5.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

Permudahkan.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

Tolak 0.5x+0.2y=20 daripada 0.5x+0.7y=35 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

Tambahkan \frac{x}{2} pada -\frac{x}{2}. Seubtan \frac{x}{2} dan -\frac{x}{2} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

Tambahkan \frac{7y}{10} pada -\frac{y}{5}.

$$0.5y=35-20$$

Tambahkan 35 pada -20.

$$0.5y=15$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=30$$

Gantikan 30 dengan y dalam x+0.4y=40. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+0.4\times 30=40$$

Darabkan 0.4 kali 30.

$$x+12=40$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=28$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=28,y=30$$